Полидуга как элемент конструирования профилей масштабируемой модели рельефа

УДК 519.652 П.А. Ким

ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск

ПОЛИДУГА КАК ЭЛЕМЕНТ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПРОФИЛЕЙ МАСШТАБИРУЕМОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА

Актуальность разработки новых моделей рельефа, применяемых в фундаментальных геофизических исследованиях Земли, связана с расширяющимся потоком космических данных дистанционного зондирования Земли, со все более высоким разрешением, приближающимся к аэрофотоснимкам, при анализе которых существенную роль играют особенности рельефа, например, складки местности, скрывающие часть информации. Обязателен учет особенностей рельефа и при ортотрансформировании данных дистанционного зондирования. Рассмотренная в [1,2] масштабируемая модель рельефа для представления территории бассейнов больших рек Сибири (Иртыш, Обь, Лена), характеризуется определенной «математической гладкостью», позволяющей избегать «ступенчатость» аппроксимации, характерной для ряда пространственных моделей рельефа. Расчет модели должен обеспечиваться многопроцессорным вычислительным модулем [3]. В настоящей работе уточняются параметры геометрической формы решения интегрального уравнения масштабируемой модели рельефа.

Работа частично поддержана грантами РФФИ 05-05-98006, РФФИ 0507-98011, РФФИ 07-07-00085-а, РФФИ 07-05-00201-а.

Краткое описание модели

Когда поверхность задана уравнением г = /(у) , то площадь поверхности вычисляется по формуле (1):

£=иу (г: )2+(к )2+, (1)

здесь О - проекция поверхности £ на плоскость хОу. Решение должно обеспечивать минимальную площадь всей поверхности.

При этом на каждом участке разбиения должно сохраняться равенство объема над участком разбиения «объему соответствующей ступеньки».

То есть, для каждого участка выполнено

(у/)Ц ?(У)ШУ = х К, , (2)

где - площадь соответствующего участка, а - усредненное

значение высоты для данного участка.

И интеграл по всей территории, должен равняться сумме объемов конечного числа разбиений при минимальности площади обтягивающей поверхности.

Ц /(: у^у = £ х ко , (3)

В качестве решения рассматриваем функцию, получающуюся выделением функции с минимальной по площади поверхностью для

класса/семейства непрерывных функций, для которых объем или интеграл по элементу разбиения равен фиксированным значениям, вычисляемых из стандартно заданных точек.

В работе [1] показывалось, что для одиночных фрагментов рельефа, их форма в упрощенном варианте, спроецированном для двумерного случая, имеет различный характер в зависимости от соотношения длины основания к высоте фрагмента. В этом случае, минимизируется периметр, покрывающей линии, при сохранении площади под ней. На рис. 1.а и 1.Ь представлены схемы решений для различных вариантов соотношения высоты и основания для одиночной ступеньки. Если а0 - ширина ступеньки, а \\ - ее высота, то построив на данном основании треугольник, той же площади, что и исходный прямоугольник, мы сможем посчитать длины (периметры) покрывающих линий. Сравнивая длины поверхностей для прямоугольника и треугольника, мы можем заключить, что в случае, когда И0 >> а0, то периметр рельефа,

образуемого сторонами треугольника больше периметра прямоугольника, с большими вертикальными сторонами.

Рис. 1. Варианты выбора более оптимальных форм

В случае, если Л0 << а0, то, напротив, периметр рельефа, образуемого сторонами треугольника становится меньше периметра прямоугольника, с большими горизонтальными сторонами. То есть, при соотношении сторон прямоугольной площади в пользу вертикального направления, форма рельефа «ближе» к прямоугольной форме, и в случае сниженного рельефа, его форма ближе к треугольной.

В обоснование вышесказанного приведены выкладки расчета полупериметров покрывающих поверхностей.

а„ * к

Рх = 2*1 = 2*У(а0/2)2 + кх2 Р0 = к0 + а0 + к0 = 2* к0 + а0

(2 х к^ + а^ )2 = 4 х кф2 + 4 х к^ * а^ + а^2

к01 =0 к02 = а0

Требуемый характер задания геометрической формы решения для случая 1.б., обеспечивают фрагменты окружности, отвечающие требованиям модели.

Рис. 2. Варианты форм при различных соотношениях высоты к основанию,

при большем значении высоты.

Пусть к0 > а, тогда 5 = ак = а0кр + —^ отсюда кр=к0 - —^, то есть, при к0

> —а° геометрическая форма одиночной фигуры, представляет

колоколообразную форму.

Другой случай, отвечающий типу формы, представленной на рис. 1.а задается дугой на рис. 3. Параметры дуги выбираются из решения следующей системы уравнений.

Рис. 3. Шатрообразные формы одиночного фрагмента рельефа при \\ < —8

Если Я - радиус окружности, формирующей масштабируемый рельеф и 2а это центральный угол, отвечающей дуге, то должно быть выполнено:

где первое слагаемое равно площади сектора, а второе слагаемое, площадь треугольника с основанием а и высотой в центре генерируемой окружности.

Длина дуги 2Яа минимизируется.

Заключение

Для последовательностей

(а1,а,,а,..)

(51,5, 5,,..}

где верхняя строчка задает последовательность примыкающих отрезков, а вторая, нижняя строчка, задает площади прямоугольников над этими отрезками. Отыскиваемым решением является последовательность высот к, к, к,к,..), задающих высоты на границах отрезков аг и обеспечивающих

построение последовательности дуг, окружностей, так, что в для функции рельефа в виде полидуги, первая производная непрерывна. Иначе говоря, в точках сопряжения касательная общая, как для левой, так и для правой дуги.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

© П.А. Ким, 2007