Коррелатная версия уравнивания и оценки точности геодезических сетей по методу псевдонормального решения

УДК 528.2:519.654:519.2

А.Г. Барлиани

СГГ А, Новосибирск

КОРРЕЛАТНАЯ ВЕРСИЯ УРАВНИВАНИЯ И ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ПО МЕТОДУ ПСЕВДОНОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

В данной статье рассмотрено непосредственное решение условных уравнений связи и получены формулы, как для уравнивания, так и для оценки точности результатов обработки.

A.G. Barliani SSGA, Novosibirsk

CORRELATION-ADJUSTMENT AND ACCURACY RANKING OF GEODETIC NETWORKS BY PSEUDONORMAL SOLUTION

The direct solution of conditional coupling equations is considered. The formulas are derived both for adjustment and the results accuracy ranking.

Коррелатным называют способ уравнивания по методу наименьших квадратов (МНК), при котором в качестве исходной системы берутся условные уравнения связи, вытекающие из геометрии сети. При этом условные уравнения связи в матричной форме имеют вид:

BV+W = 0. (1)

Хорошо известно, что по МНК от условных уравнений связи (1) переходят к нормальным уравнениям коррелат. Решая их, получают коррелаты и далее вычисляют вектор поправок V к измеренным величинам.

Предлагается иной подход, основанный на методе псевдонормального решения. Псевдонормальное решение уравнений (1) при случае неравноточных измерений имеет вид:

V = -P~°’5B+W, (2)

где Р - диагональная матрица результатов измерений;

В+ - псевдообратная матрица к матрице

В =Р~^5 В. (3)

В данном случае задача состоит в определении псевдообратной матрицы

В +. Применим рекурсивный алгоритм вычисления этой матрицы [1]. Для этого матрицу исходной системы уравнений связи запишем в виде:

где ь - вектор-строка и имеет вид:

В ,В ,...,В

Я /2 іп

Приведем рекурсивный алгоритм вычисления псевдообратной матрицы в случае, когда при каждой рекурсии последовательно присоединяются

строки ь 5 который имеет вид:

В+ =

виЕ~Ф Р,

При уравнивании любых геодезических построений (как свободных, так и несвободных) матрица условных уравнений связи В имеет полный ранг, равный г. Поэтому в выражении (5) после каждой рекурсии вектор-столбец Д всегда будет определяться по формуле [1]:

- квадрат евклидовои нормы; вектор-строка, получаемый по выражению:

С =Ъ -сіВ .

і і і і — 1

Здесь вектор-столбец d. определяется по формуле:

б/ =ЪВ+ .

І І 7-1

Необходимо заметить, что для первой рекурсии в выражении (7) матрица Х будет равняться первой строке матрицы (4), те.

После каждой рекурсии размерность матрицы В._х будет расширяться на один вектор-строку. Например, для второй рекурсии она будет соответствовать матрице

и т.д.

Очевидно, что для начала процесса вычисления псевдообратной матрицы необходимо иметь начальный псевдообратный вектор-столбец, который рассчитывается известным образом [1]:

- Ът В+ = -1— П0 _ 2

Далее, используя выражение (5)-(8), постепенно расширяя размерность матрицы В+ и после (г - 1)-кратного обращения к этим выражениям, получим псевдообратную матрицу

В+=В+.

Таким образом, решается задача уравнивания методом

псевдонормального решения.

Перейдем к оценке точности результатов уравнивания. На первом этапе рассмотрим получение ковариационной матрицы уравненного вектора поправок. С этой целью к выражению (2) применим известную теорему обобщенной оценки точности Фишера [2]:

ку=р-^в+кшв+тр-а-\\ (10)

где - ковариационная матрица вектора невязок, которая при неравноточном случае измеренных величин равна

^=м2ввт. (11)

Здесь // - средняя квадратическая ошибка единицы веса.

С учетом выражения (11) формулу (10) перепишем в виде:

Ку = ¡и2Р~^5В+ВВтВ+тР-°’5.

Из математики известно, что произведение двух матриц В+В является матрицей идемпотентной. Поэтому

В+ВВТВ=В+В.

Тогда получим

Ку = 1и2р-^5В+ВР~^5.

>-0,5

Так как в выражении (12) матрица Р~является диагональной, поэтому получим простые формулы для вычисления элементов ковариационной матрицы К .

Недиагональные элементы этой матрицы можно вычислить по формуле:

_ 2 ъ+ъ

Диагональные элементы при I = у рассчитываются по выражению:

ь+ь \\ /

-Р • (14)

Поступая аналогично, несложно получить ковариационную матрицу уравненного вектора измеренных величин, которая будет равняться

Ку=1и1(уР~1-Р-^5В+ВР-^5). (15)

После несложных преобразований получим формулы для вычисления

элементов данной матрицы. При этом недиагональные элементы

рассчитываются по формуле:

_ _ 2 ь+ь.

Вычисление диагональных элементов ковариационной матрицы уравненного вектора результатов измерений, можно выполнить по выражению

-• (IV)

К„ = и

Как известно, при уравнивании оценки точности геодезических сетей нет необходимости построения полной ковариационной матрицы, а ограничиваются только вычислениями средних квадратических ошибок, которые на основании выражения (17) можно получить по простой формуле:

т_ = и

Аналогичным образом получим ковариационную матрицу векторной функции, которая в данном случае запишется следующим образом:

Кр = 1Л2¥Т{Р-Х-Р-°’5В+ВР-°’5)Р = РТ&К Р. (19)

В заключении отметим, что непосредственное решение условных уравнений связи на основании метода псевдонормального решения, по мнению автора, имеет преимущество перед классическим методом наименьших квадратов. Это выражается в том, что в предложенном алгоритме отпадает необходимость составления и решения нормальных уравнений коррелат. Так же для оценки точности результатов уравнивания получены простые формулы, которые упрощают данную задачу.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

© А.Г. Барлиани, 2010