Спросить
Войти
Якимов А.Н.
СПОСОБ ФОРМИРОВАНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИИ АНТЕННЫ
Оценка влияния механических воздействий на геометрические характеристики упругих тел криволинейной формы, к которым относится, например, параболический металлический отражатель зеркальной антенны, представляет собой сложную задачу. Упрощение решения этой задачи может быть получено в результате конечно-элементного представления рассматриваемого отражателя. Спецификой трехмерной модели отражателя антенны является необходимость ее построения по двумерной электродинамической модели излучающей поверхности. В основе такой обобщенной модели лежат тетраэдры, вершины которых совпадают с характерными точками (узлами) излучающей поверхности, при этом возникающие вследствие механических воздействий деформации однозначно учитываются в электродинамической модели излучения антенны, что позволяет оценить влияние этих воздействий на характеристики излучения антенны [1].
С учетом заданных точек закрепления отражателя и силовых воздействий на него, задача упругости может быть решена в матричной форме по методу перемещений [2] . При этом вектор перемещения всех узлов сетки конечных элементов (КЭ) составляется из векторов перемещения каждого незакрепленного
(неопорного) узла {^С} = { \\ ■■■ ^} , вектор сосредоточенных усилий воздействий включает воздействия
на все эти незакрепленные узлы {*} = Г ■■■ Г} , а зависимость между ними приобретает вид
{Я} = [К] • {£с} ,
где [ К] — общая матрица жесткости всей конструкции; к — число незакрепленных узлов сетки. Учитывая, что к одному узлу сетки обычно примыкают несколько КЭ, каждый из которых вносит вклад в матрицу жесткости, для каждого I - го узла общая матрица жесткости [К] будет включать сумму элементов матрицы жесткости
сех примыкающих к узлу элементов,
[К ] = 2 [К ] . Для формирования
общей матрицы жесткости конструкции из матриц жесткости отдельных КЭ необходимы специальные методики и алгоритмы, позволяющие последовательно соединять КЭ во фрагменты более высокого уровня. Таким образом, формирование матриц жесткости конструкций является фактически самостоятельной задачей, решению которой уделяется значительное внимание.
Известно [3], что для нахождения распределения потенциала в пространстве методом конечных элементов широко используются матрицы, связывающие потенциалы разъединенных элементов с потенциалами объединенного набора элементов. Аналогично и для матрицы жесткости конструкции отражателя [К ] могут быть предложены специальные соединительные матрицы, позволяющие по матрицам жесткости фрагментов конструкции в автоматическом режиме получать общую матрицу жесткости всей конструкции.
Пусть отражатель, представляющий собой параболоид вращения, выполнен из сплошного металла, имеет заданную толщину и расположен в правой декартовой системе координат с центром в вершине параболоида. Из возможных вариантов разбиения отражателя на тетраэдры выберем - обеспечивающий минимальных порядок решаемых уравнений, которому соответствует минимальное число узлов объемной сетки, аппроксимирующей этот отражатель. При этом примем следующий порядок объединения тетраэдров в единую конструкцию криволинейного отражателя:
объединение тетраэдров в призмы (рис. 1);
Рис. 1. Объединение тетраэдров в призмы
объединение призм в параллелепипеды (рис. 2);
Рис. 2. Объединение призм в параллелепипеды
— объединение параллелепипедов по оси X в единый фрагмент (рис. 3);
Рис. 3. Объединение параллелепипедов по оси X в единый фрагмент — объединение по оси у фрагментов, законченных по оси х (рис. 4).
Рис. 4. Объединение по оси у фрагментов, законченных по оси X
Предложенный алгоритм формирования конструкции антенны требует определения общих матриц жесткости конструкций [ к ] по матрицам жесткости формирующих ее фрагментов. Для реализации этого алгоритма необходимо специальное математическое обеспечение, позволяющее сложить в каждом узле элементы матриц жесткости примыкающих к нему фрагментов разбиения. Эффективным подходом к решению этой проблемы является разработка объединительных матриц соответствующего уровня, позволяющих выполнить необходимое сложение [1].
В соответствии с предлагаемой концепцией общая матрица жесткости конструкции [ К ] определяется поэтапно следующим образом.
Объединение тетраэдров в призмы (см. рис. 1) происходит с изменением нумерации общих вершин. Для осуществления этого объединения необходимо сформировать разъединенную матрицу жесткости треугольной призмы, представляемую в виде диагональной матрицы
Ш [0] [0] &
[0] [кл] [0] , (2)
[0] [0] [ке3]_
где [ке1 ] , [ке2] , [кез] — матрицы жесткости КЭ в виде тетраэдров, формирующих фрагменты конструкции в
виде призмы и описываемые формулой
[<№] ттщ к, о)
в которой: [ке ] — матрица жесткости КЭ; [ В] — матрица геометрических характеристик КЭ; [ ] —
матрица упругих характеристик КЭ; V — объем КЭ. Матрица жесткости \\ке ] не зависит от действующих на элемент нагрузок и может быть вычислена для каждого элемента отдельно от них [2].
В свою очередь матрица [В] геометрических характеристик КЭ в виде тетраэдра может быть определена как [1, 2]
йргг
ь 0 0 ь] 0 0 Ьт 0 0 Ьп 0 0
с ь 0 С ь] 0 Ст Ьт 0 сп Ьп 0
= 1 Ут гт & С і = Хт 1 гт , 4 = Хт Ут 1
а формулы для остальных коэффициентов получаются путем циклической перестановки индексов:
ров с индексами I , ] , т , п .
Объем тетраэдра V определяется по формуле
координаты вершин тетраэдХ Уі гі 1
V, = - Х У 1
е 6 Хт Ут гт 1
_ Хп Уп гп 1
Матрица [ П] упругих
Е (1 -у)
(1 +г)(1 -У)
у/(1 -у) 1 у/(1 -у) 0 0
у/(1 -у) у/(1 -у) 1 0 0
где Е — модуль упругости Юнга; V — коэффициент Пуассона.
Матрица жесткости призмы п - го параллелепипеда [Кргп] может быть найдена как
[КрГп] = [Срг] т [КЛрт][Срг],
где [Срг ] — матрица объединения (объединительная матрица) тетраэдров в призмы, учитывающая топологию отдельных КЭ.
Для формирования такой матрицы [Срг ] необходимо рассмотреть уравнение перехода от силового воздействия на узлы отдельных КЭ к воздействию на узлы единой конструкции с новой нумерацией (см. рис. 1):
{^123} = [Срг] • {^123} , (9)
где {-^12 з} — вектор-столбец 3 6-го порядка силовых воздействий на отдельные узлы разъединенных КЭ;
{Рс123} — вектор-столбец 18-го порядка силовых воздействий на узлы объединенного фрагмента конструкции (призмы).
Для объединения тетраэдров в призмы в соответствии с обозначениями, приведенными на рис. 1, уравнение (5) примет вид
Р ; &[1] [0] [0] [0] [0] [0]&
Р 2 [0] [1] [0] [0] [0] [0]
Р 3 [0] [0] [1] [0] [0] [0]
р4 [0] [0] [0] [1] [0] [0]
Р21 [1] [0] [0] [0] [0] [0]
Р22 [0] [1] [0] [0] [0] [0]
Р23 [0] [0] [0] [1] [0] [0]
Р24 [0] [0] [0] [0] [1] [0]
^31 [1] [0] [0] [0] [0] [0]
Р32 [0] [1] [0] [0] [0] [0]
Р33 [0] [0] [0] [0] [1] [0]
^34 .[0] [0] [0] [0] [0] [1] _
где ■■■ р4 — векторы-столбцы силовых воздействий 3-го порядка (по трем осям координат X , у и
третьего тетраэдра; векторы-столбцы силовых воздействий 3-го порядка на 1.6 узлы призмы
(см. рис. 1); [1] , [0] — единичная и нулевая матрицы 3-го порядка.
Объединение призм в параллелепипеды (см. рис. 2) производится аналогично объединению тетраэдров в призмы, при этом формируются разъединенные матрицы жесткости параллелепипедов, представляемые в виде диагональных матриц вида
^р^] [0] &
_ [0] [Kprn2]_
[Kdppn] — разъединенная матрица п - го параллелепипеда фрагмента конструкции по оси x ; ^ ^
[ 2] — матрицы жесткости призм, формирующих фрагменты конструкции в виде параллелепипеда.
Матрица жесткости п - го параллелепипеда фрагмента конструкции по оси x может быть найдена как
[Kppn ] = [Срр Г [^ ][Срр ] ,
где [Срр ] — матрица объединения призм в параллелепипед, методика нахождения которой аналогична методике, приведенной ранее для [СрГ] .
Объединение параллелепипедов по оси x в единый фрагмент (см. рис. 3) производится исходя из разъединенной матрица жесткости m - го фрагмента \\K^.m] , законченного по оси x :
■ [0] ■ [0]
■ [^рп ]
матрицы жесткости
параллелепипедов, формирующих законченный фрагмент при отсчете по оси у , законченного по оси
где ^рр^ ] ... \\Kppn ] — матрицы жесткости п
конструкции по оси x .
Матрица жесткости т - го фрагмента конструкции [ ^ x , может быть найдена по выражению
[Кт] = СТ [^ ]Сх] , (14)
где [с, ] — матрица объединения по оси х фрагментов в виде параллелепипедов.
Объединение по оси у фрагментов, законченных по оси х (см. рис. 4) производится исходя из
разъединенной матрица жесткости [K^], всей конструкции:
[Кх] [0] ... [0]
[0] [Кхт] ... [0]
[К ] = [Су ]т [К4 ][Су ] ,
где [Су ] — матрица объединения по оси у фрагментов, законченных по оси х .
Предложенное решение задачи формирования общая матрица жесткости конструкции позволило в оболочке Ма^АВ создать пакет прикладных программ для исследования влияния внешних механических воздействий на характеристики излучения зеркальных параболических антенн и может быть рекомендовано для дальнейшего практического использования.
П. Сильвестер, Р. Феррари//. — М.: Мир, 1986. — 229 с.
М.: Наука, 1974. — 832 с.
