STEREOMETRIK MASALALARDA TENGSIZLIKLARNI QO’LLASH

STEREOMETRIK MASALALARDA TENGSIZLIKLARNI QO&LLASH

Qarshiboyev Obid Sherqul o&g&li Islomov San&at Mash&al o&g&li Toshkent viloyati ChDPI

Annotatsiya: Maqolada stereometrik masalalarda ko&p uchraydigan eng katta va eng kichik miqdorlarni tengsizliklar yordamida topish yo&llari ko&rsatilgan.

Kalit so&zlar: Stereometrik shakllar, kub, silindr, eng katta hajm, konus, to&rt yoqli burchak, yassi burchak

APPLICATION OF INEQUALITIES IN STEREOMETRIC PROBLEMS

Qarshiboyev Obid Sherqul o&g&li Islomov San&at Mash&al o&g&li Toshkent region ChSPI

Abstract: The article shows ways to find the largest and smallest values that are most common in stereometric problems using inequalities.

Ma&lumki, elementar matematika kursida geometriya fani shartli ravishta ikki qismga bo&linadi: planimetriya va stereometriya. Stereometriyada shakllar uch o&lchamli fazoda o&rganiladi. Stereometriyani o&rganish o&quvchidan planimetriya bo&limida o&rganilgan bilimlarni qo&llash va geometrik shakllarni yanada chuqurroq tasavvur qilishni talab qiladi. Hozirgi kunda oliy ta&lim muassasalariga kirishda matematika fanidan savollar orasida stereometrik masalalar ham uchramoqda. Bu masalalarni yechishda shakllarning eng katta va eng kichik qiymatlarini topa olish muhim ahamiyatga ega. Eng katta va eng kichik qiymatlarni topish esa hosila yordamida topiladi. Lekin, hamma o&quvchi ham uni qo&llay olmaydi. Geometriya bo&yicha ba&zi masalalarni,masalan, eng katta yoki eng kichik miqdorlarni topishga oid masalalarni yechish uchun ko&p jihatdan ularni yechish tajribasiga va yechish usullarini o&zlashtirganlik darajasiga bog&liq. Shuning uchun berilgan qarab qaysi tengsizlikni qo&llash va uni isbotlash muhimdir. Endi quyida ba&zi masalalarni qarab chiqaylik.

Yechish. Qirqilgan kvadrat tomonini x orqali belgilaymiz. Qutining tubi 6a - 2x balandligi x (1-chizma).

(1-chizma).

Uning hajmi V =( 6a - 2x)(6a - 2x) x =4x(3a - x) (3a - x). 1 maksimumga erishishi bir vaqtda y(x) =2x(3a - x) (3a - x) ga bog&liq.

doimiy kattalik. U holda y (x) eng katta qiymatga 2x =3a - x da erishadi. Bu yerdan x =a tenglikni olamiz.

Yechish. Konus asosining radiusini r balandligini H silindr asosining radiusini

r balandligini ^ orqali belgilaymiz (2-chizma).

( 2-chizma) H - h r

=—. Bundan h =—( R - r). Silindr hajmi

V =xr h =xr — (R- r) --(R- r) ga teng. —— R R 2 2 R

-doimiy kattalik. V hajm

maksimum qiymatga y =—(R - r) funksiya bilan bir vaqtda erishadi.

- =R - r ga teng bo&lganda erishadi. Bundan, — =- kelib chiqadi.

Yechish. Silindr asos radiusini r va balandligini h kabi belgilaymiz.

(3-chizma)

topamiz. Silindr hajmi v =nr2h =2nr 2Vr2 - r2 ga teng bo&ladi. 2n -o&zgarmas qiymat bo&lganligidan, V hajm eng katta qiymatga y =r2 VR2 - r2 funksiya bilan bir vaqtda erishadi. y funksiyani kvadratga oshirib, quyidagi tenglikka egamiz:

y2 =r4(R2 - r2) =4^r-(R2 - r2).

r r ,„2 „2

— , —,(R - r ) qo&shiluvchilar yig&indisi R -o&zgarmas kattalikka teng bo&ladi.

y eng katta qiymatiga, ular teng bo&lganda erishadi: — =R2 - r2. Bundan esa,

r : R =/2:73 hosil bo&ladi.

Yechish. Sharning radiusini R harfi bilan va konusning balandligi va radiusini mos ravishda h va r harflari bilan belgilaymiz (4-chizma)

(4-chizma)

so konus balandligini shar sirtidagi e nuqtagacha davom ettiramiz. se =2R va so =h ekanligidan, oe =2R - h tenglikni topamiz. Aylanadagi kesishuvchi vatarlar haqidagi teoremasidan, AO2 =SO ■OE munosabatni topamiz. Bizning belgilashiiz bo&yicha esa, r2 =h(2R - h)tenglik o&rinli. Konus hajmi

V =3^r2h =3h\\2R - h) =4-2~2~(2R - h) ga teng. ^ -o&zgarmas kattalik

bo&lganligidan, V hajm eng katta qiymatga y = — (2R - h) funksiya bilan bir vaqtda

erishadi. 2 va (2R- h) qo&shiluvchilar yig&indisi 2R -o&zgarmas songa teng. y

funksiya eng katta qiymatga qo&shiluvchilar bir-biriga teng bo&lganda erishadi, ya&ni

h „„ , ^ , R 3 . , . , . — =2R - h . Bundan esa, — =- nisbatni olamiz. 2 & h 4

burchagi yig&indisidan kichik ekanligini isbotlang.

Isbot.To&rt yoqli burchagi SABCD ning eng katta yassi burchagi ASB bo&lsin.

(5-chizma) chizamiz.

(5-chizma)

SD va SB to&g&ri chiziqlar orqali tekislik o&tkazamiz.Uchyoqli burchakning istalgan yassi burchagi qolgan ikki burchagi burchagi yig&indisidan kichikligidan

yozish mumkinki, ASB < ZASD + ZDSB va ZDSB < ZDSC + ZBSC

Bundan esa, ZASB < ZASD + ZDSC + ZBSC ga ega bo&lamiz. Xulosa. Yuqoridagi masalalardan ko&rinib turibdiki, stereometrik masalalar yechilishi ham bizga ma&lum planimetrik ma&lumotlarga tayanadi. Masalani yechish uchun, avvalo, uning chizmasini tasavvur qilish kerak va shunga mosroq grafikni yasash kerak. Bunda, albatta, tasavvur muhim ahamiyat kasb etadi. Ularga tengsizliklarni tatbiq qilish uchun chuqurroq ko&nikma va malaka kerak bo&ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar