Выбор оптимального портфеля ценных бумаг при возможности мультипликации доходности

Автор: указан в статье

УДК 517.977.5:336

B.C. Васильев

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ ПРИ ВОЗМОЖНОСТИ МУЛЬТИПЛИКАЦИИ ДОХОДНОСТИ

Под залог ценной бумаги может быть получен кредит в размере доли a (О < a < І ) стоимости обеспечения. За период инвестиций стоимость ценной бумаги (с учетом приведения всех процентных или дивидендных выплат к конечному моменту периода инвестиций) возрастает в

І + Гі раз ( Гі > О), а проценты по кредиту под залог данной ценной бумаги составляют за тот же период долю Г2 (r2 > О) от суммы долга.

Если Гі > Г2, то возможна мультипликация доходности. Взятый кредит употребляется на покупку этой же ценной бумаги, под залог которой снова берется кредит, который употребляется на покупку этой же ценной бумаги и т. д. Чистая доходность в пределе составит

Г = т^ І1 + г1 )-т-- &(Т + Г2 )- 1 = Г1 + т-- &(Г1 - Г2 ) .

1 - - 1 - - 1 - Пусть на рынке имеется n ценных бумаг. Под залог г-ой ценной бумаги может быть получен кредит в размере доли -( , О < - i < 1,

1 < І < П стоимости обеспечения. На имеющийся начальный капитал St) сформирован инвестиционный портфель структуры

(xU x2 ,..., xn ) , (1)

х = |х,, х2,..., хп

где Х{, 0 < х{ < 1, 1 £ I < П — доля вложений капитала So в г-ую ценную бумагу.

Понятно, что

х, + х2 +...+Хп = (г ,х) = 1, I = (1,1,...,1)Т (2)

где (а, Ь) — скалярное произведение векторов а = (а, , а2,..., ап ) и Ь =(bl, Ь2,..., Ъп) Т,

(а,Ъ) = а1 • Ъ + а2 • Ъ2 +...+ап • Ъп .

Под залог портфеля может быть получен кредит (а, х)• ,

а = (а, ,а2,...,ап) , который употребляется на формирование инвестиционного портфеля той же структуры (1), (2), под залог которого может быть получен кредит (а,х)2 • 5*0 и т. д.

Поскольку 0 < (а, х)< 1, суммарная стоимость обеспечения соста• 50 , а общий размер долга

вит 50 + (а,х)• 50 + (а,х) 5 +... =

1 -(а, х)

(а,х)• 50 + (а,х) •б^ +(а,х) •б^ +... =

(а,х) 5

1 -(а, х) 0.

Относительный рост стоимости (доходность) за период инвестиций г-ой компоненты портфеля (с учетом приведения всех процентных или дивидендных выплат к конечному моменту периода инвестиций) представляет собой реализацию случайной величины Я., 1 < , < п.

= м[ я, ], 1 < , < п — математическое ожидание Я.. Если проценты

по кредиту за тот же период составляют долю й от суммы долга, то чистая доходность инвестиций при возможности ее мультипликации представляет собой случайную величину

1 ( а х) (г + Д х)- . ( (’О*).,) • (1 + d) -1

1 -(а, х )ч ’ 1 -(а, х)

/- л (а, х) п г л ,\ (Я - d а, х) _ , чт

= (Я, х) + ^ х)-Я = К Я2,..., Я ) ,

(т - d• а, х)

(а, х)

, т = (m1, щ^.^ тп )

— ее математическое ожидание.

Разумеется, мультипликация доходности имеет смысл при

(Я, х) > d > 0 и отсутствии возможности более эффективных вложений.

Таким образом, задача ставится следующим образом. Найти структуру (1), (2) инвестиционного портфеля, обеспечивающую при заданном математическом ожидании доходности (3) минимальный риск. Под риском

понимается дисперсия случайной величины Яр [1]:

(ЯР- т,)

(Я - т, х)

1 - (а, х)

(1 -(d, х))2

(Я - т, х)

•ХХ(Ух,х)

где У &■

(1 -(а,х))2 1=1У У (1 -(а,х))2 , (4)

(- тг) • (Яу - ту) , 1 < ,, j < п — матрица ко= м

вариаций случайных величин Д и Д. То есть,

(Ух, х)

У ® Ш1П (5)

(1 -(«, X ))

при ограничениях

х (т - й- а, х)

(г,х) = 1, —тт—= тр, х, > О,1 < і < п (6)

(г - а, х)

заменой переменных

У = иЪ)- х = • У = {-У&,У2,-,Уп)Т

задача (5), (6) сводится к задаче квадратичного программирования

(УУ,У) ® ШІП (7)

с линейными ограничениями в форме равенств

(і - а,у) = 1, (т - й а,у) = тр , (8)

и в форме неравенств

уІ > 0, 1 < І < П . (9)

С учетом (8) решение исходной задачи (5), (6) найдется преобразо-- у ванием х = ~т——г .

(і , у )

Для минимизации модифицированной функции Лагранжа [2]

£ = (уу,у) + 1-((— -а,у)-1) +1 -((т-й^у)-тр] + Хт \2і2 -Уі) +

+ 2-С

((— - a,у)-1)2 +((т - й- а,у)- тр) + £ (г2 - У і )2

где Л о , Л і, т 1, 1 < І < П - множители Лагранжа,

21, 1 < І < П - дополнительно вводимые переменные для сведения

неравенств (9) к равенствам 2І - уІ = 0 , 1 < І < п , с - параметр квадратичного штрафования,

может быть предложен, следуя [2], метод множителей второго порядка

г Л (г г\ ^ /г г\ $ г

2 •Уу + 1$ • (, - а) +1$ • (т - d • а) - /$ = 0,

(г - а, у)-1 = 0,

(т - d • а, у) - тр = 0,

& А = 0, у, > т, ■ (10)

С у = 0 У1 £ “,1 £ 1 £ п.

Для решаемой на шаге итерационного процесса (10) задачи

2 • Уу + 1$ • (г - а) +1$ • (т - d • а) = 0,

(у - с~,:у)-1 = 0, (11)

(т - d а ,у)- т, = 0

без ограничений в форме неравенств (9), возможно, уменьшенной размерности за счет исключения тех компонент У,, для которых ограничения (9) оказались активными явном виде

, решение может быть указано в

•У ’(і - а)+ - Л -У х(т - й-а),

(у 1 (т - й-а), (т - й-а)-тр •( і - а))

(у ’(і - а),тр •(У - а)-(іп -й-а))

■■(у 1 (т-d• а),(т-d• а))^У 1 (~ -у),(~ -у))--(у _1(т - d• а),(У - а ))^У"’(У - у) ,(т - d• а)).

После этого определяется /$ = 2^ Уу + 1$ • (, - а) + А^^т - d • а). Далее процесс повторяется.

При наличии на рынке безрисковых бумаг [1] задача (5), (6) видоизменяется следующим образом:

(г0 - й- а0 )• х0 +(т - й- а, х) + (і, X) = 1, —

1 а0 • х0

= тр, х, > 0, 0 < і < п (13)

где X о — доля безрисковых бумаг в портфеле;

а о — отношение размера кредита, выдаваемого под залог безрисковых бумаг, к стоимости обеспечения;

Г0 — доходность безрисковых бумаг за период инвестиций.

Заменой переменных

1 - а0 • х0 -(а, X)

1 + а0- У0 + (а,у) ’ Л 1 + От У0 + (а,у)

задача (12), (13) также сводится к задаче квадратичного программирования (7) с линейными ограничениями в форме равенств

(1 - «0 )• У0 + (г - а, у) = 1, (т-0 - й-а0 )• У0 +(т - й а, у)

и в форме неравенств

уі > 0, 0 < і < п.

Решение исходной задачи (12), (13) найдется, с учетом (14), преобразованием

_ Уо - _ У

Х° Уо + (г,у), - Уо + (г,У) .

Метод множителей второго порядка [2] для нахождения решения задачи (7), (14), (15) будет выглядеть следующим образом

Л° • (1 — а° ) + 1 • (Г° — й ■ а° ) — т° _ °,

Л Л ,_ ч Л ^ _*

2 • Уу +1° • (, — а) +1$ • (т — й а) — т _ °,

(1 — а°)• у° +(Г — а,у) — 1 _ °

(г° — йа°)• у° +(т — й а,у) — тр _°, уг _ ° У, £ тг/с, т _ 0, У1 >1с,° £ г £ П.

При неактивном ограничении у 0 > 0

У0 >

для решаемой на

очередном шаге итерационного процесса (16) задачи

Л) • (1 а0 ) + 1 • (т0 й • а0 ) = 0,

2^ Уу +1$, •( і - а) +1$ • (т - (!• с~) = 0,

(1 - а0 )• у0 +(г - а,у)-1 = ° (^0 -й •а)• У0 + (т-й а,&)(17)

тр = 0

без ограничений в форме неравенств (15), возможно, уменьшенной размерности за счет исключения компонент у, для которых ограничения

(15) оказались активными

но в явном виде 10

, решение также может быть указа-(1 - а0 ) - (т0 - й • а0 )

У0 =■

2 (т0 й- а0) 2 (1 а0)

Б = ^ї?_1 ((1 - а0 )•(»? - с~)-(г0 - а0 )•( і - а)), (1 - а0 )^(т - й •с~)-(г0 - й •а0 )•( і - с?)),

(V-((1 -а0)\т-а)-(г0 -а^^& -сі)),(т-а&)-тр •(? -а)^|

? =(1 а)• й&а0)• у-1((1 -а0)•(/?-й-Щ-{г0-^а0)• (&-<?)).

Л Л Л . Л

При этом т0 = 0, а т = 2 • Уу +10 • (і - а) + ^ • (т - й • а).

При активном ограничении у0 > 0

у0 <

на шаге итерационного процесса (16) решается задача (11).

Существование решений на каждом шаге итерационных процессов (10) и (16) при ограничениях

ш,- - а а

< шр < шах

" і

ш,. - а а

для 1 £ I £ П и 0 £ I £ П соответственно следует из выпуклости соответствующих задач (7)—(9) и (7), (14), (15) (в силу (4), матрица V — положительно определена и симметрична), а сходимость итерационных процессов (10) и (16) за конечное число шагов можно доказать, следуя [2].

В заключение, при следующих исходных данных:

5.67357 • 1° — 3.06993 10 4.65825 1°—6 —1.21387 1°—4 — 7.72284 1°—5

3.°6993 1°—4 1.10062 10—3 — 4.03858 10—5 2Л8°6М°—4 4.39847 1°—4

V _ 4.65825 10—6 — 4.03858 10—5 2.01555 10—4 5.49399 1°—5 1.68348 • 1°—4

—1.21387 1°—4 2.18°61 • 1°—4 5.49399 • 1°—5 1.°°235^ 1°—3 1.°9256 1°—4

— 7.72284 1°—5 4.39847 1°—4 1.68348 1°—4 1.09256 10—4 8.00284 10—4

т _ (0.0497036 0.0637339 0.0497839 0.0588361 0.0486765)Г,

тр =0.10, й =0.04, г° =0.03, а° =0.95,

а _ (°.85 0.70 0.90 0.75 0.8°)Г,

приведем решения задач (5), (6)

У _ (2.52264 0.332495 0.0 0.624564 1.82857)^, х _ (0.475228 0.0626371 0.0 0.117659 0.344476)Г

и (12), (13)