Некоторые задачи прикладной математики - небесная механика, Геодезия, картография - в работах академика М. В. Остроградского и его научной школы (к 200-летию со дня рождения ученого)

2007 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 10. Вып. 1

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

УДК 52 (091) : 52 (092)+521.1

Е. Н. Поляхова, К. В. Холшевников

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ -НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА, ГЕОДЕЗИЯ, КАРТОГРАФИЯ -В РАБОТАХ АКАДЕМИКА М. В. ОСТРОГРАДСКОГО И ЕГО НАУЧНОЙ ШКОЛЫ

(К 200-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ УЧЕНОГО) *>

Введение. Деятельность русских математиков и механиков в смежных науках редко привлекает исследователей, поскольку чаще всего внимание уделяется основному направлению их работы. Вследствие этого до сих пор отсутствует полное представление о деятельности ученых, применявших математику и механику в баллистике, небесной механике, фортификации и др. Что касается небесной механики в России, то здесь сложилась вообще специфическая ситуация: после смерти Леонарда Эйлера (1707-1783), т. е. с конца XVIII в., и до начала XX столетия небесная механика развивалась главным образом в работах математиков и механиков, а не астрономов [1]. Это определялось еще и возможностью почерпнуть из астрономии примеры для различных приложений развиваемых математических методов. В этой связи развитие механики в России в то время можно разделить условно на несколько периодов:

Что же привнесли российские математики и механики, в частности М. В. Остроградский (1801-1862), в небесную механику XIX столетия? Попробуем осветить данный вопрос в соответствии с предложенной классификацией этапов.

Первый период (пост-эйлеровский). Здесь уместно назвать коллег и учеников Эйлера- Н. И. Фусса (1755-1826), А. И. Лекселя (1741-1784), С. Е. Гурьева (1764-1813), М. Е. Головина (1756-1790), Ф. И. Шуберта (1758-1825). Их вклад в астрономию подробно освещен в работах [1, 2]. Отдельно следует упомянуть Ф. И. Шуберта, который наряду с математическими работами написал много книг и статей по астрономии и небесной механике. Его интерес к астрономии был стимулирован служебной деятельностью в Географическом Департаменте Петербургской Академии наук, но позднее астрономия становится его основной специальностью [2-5]. С именем Шуберта теснейшим образом связано становление астрономической науки и астрономического образования в России [5].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-02-17408) и Совета по грантам президента РФ для поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-4929.2006.2).

© Е. Н. Поляхова, К. В. Холшевников, 2007

В 1798 г. Ф. И. Шуберт выпускает в Петербурге свой фундаментальный труд «Теоретическая астрономия» [6], в трех томах (частях), на немецком языке. Он сразу приносит ему мировую известность и на долгие годы становится основным руководством для обучения астрономов, причем не только в России. Эта книга была энциклопедией астрономической науки своего времени, поскольку многотомная «Небесная механика» П.-С. Лапласа только начала печататься во Франции (первый из девяти ее томов вышел в 1796 г.). Позднее Ф. И. Шуберт по совету П.-С. Лапласа, высоко оценившего книгу, организует ее перевод на французский язык и в переработанном виде издает заново в 1822 г. в Петербурге [7]. От имени французских математиков и астрономов С.-Д. Пуассон поблагодарил Шуберта за это издание.

Всего перу Шуберта принадлежит около сотни работ и заметок, из которых около 80 - на астрономическую и геодезическую темы, в том числе несколько работ по теории возмущений больших планет и Луны, переписка с ведущими зарубежными астрономами того времени -с П.-С. Лапласом, К.-Ф. Гауссом, Ф.-В. Весселем и др. [8]. Как писал Н. И. Идельсон в предисловии к публикации этой переписки, «в этих письмах оживает перед нами целая эпоха замечательного расцвета физико-математических наук» [9, с. 798]. «В переписке Шуберта с величайшими западно-европейскими учеными замечательно утвердились роль и значение нашей Академии наук» (там же, с. 799).

Говоря о развитии небесной механики в России, нельзя не упомянуть огромный вклад Н. И. Лобачевского (1792-1856) - современника М. В. Остроградского. Н. И. Лобачевский -фигура столь самобытная, что его творчество трудно отнести к какой-либо из существовавших в то время научных школ. Не укладывается его научное наследие и в нашу классификацию, т. е. его нельзя отнести ни к пост-эйлеровскому периоду, ни к «аналитическому» («пост-лагранжевому»), связанному в России с именем Остроградского. Отметим, что первый существенный шаг на трудном пути к созданию новой теории пространства и времени был сделан именно Н. И. Лобачевским и его можно считать основателем релятивистской небесной механики. Знаменитый доклад Н. И. Лобачевского «О началах геометрии» был им представлен на заседании Отделения физико-математических наук Казанского университета 11(23) февраля 1826 г.

В данной статье, посвященной М. В. Остроградскому и его школе, мы не затрагиваем специфического научного наследия Н. И. Лобачевского по небесной механике, отсылая читателя к работам самого ученого [9] и к очерку Н. И. Идельсона о нем как об астрономе [10], а также к работе Л. И. Брылевской [11]. Ограничимся лишь напоминанием, что Лобачевский первым попытался использовать параллаксы звезд для определения свойств пространства и выяснения, соответствует ли его геометрия реальным условиям в физическом пространстве. Доказав равноправность двух геометрий, он поставил вопрос, какая именно из них осуществляется в реальном мире, хотя в масштабах Земли наш мир с очевидностью евклидов. Однако имевшиеся в его распоряжении данные о величинах параллаксов были не точны, и он пришел к выводу, что выявить различие двух геометрий современными ему методами невозможно.

Н. И. Лобачевский обратился к астрономии, понимая, что отклонения от евклидова пространства могут быть замечены только на космических расстояниях: разрабатывая свою неевклидову геометрию, он связал ее с космологией. Астрономии посвящена и значительная часть обессмертивших его имя книг «О началах геометрии» (1829 г.) и «Воображаемая геометрия» (1835 г.) [9]. Эти исследования его как математика можно рассматривать в качестве первых шагов в релятивистской небесной механике и космологии, получивших бурное развитие лишь в XX столетии. Н. И. Лобачевский оценил радиус кривизны Вселенной из астрономической теории параллаксов - это были первое экспериментальное определение геометрии Вселенной и первый шаг в развитии релятивистской небесной механики.

Второй период (деятельность академика М. В. Остроградского). Недавно отечественная научная общественность отметила 200-летие со дня рождения Михаила Васильевича Остроградского (1801-1862) - знаменитого русского математика, механика и педагога, петербургского академика. В его творчестве нашли яркое воплощение характерные особенности механики первой половины XIX столетия [12, 13]. Биография и научное наследие М. В. Остроградского хорошо изучены, однако он является настолько могучей фигурой российской и мировой науки, что вновь и вновь обращение к личности ученого позволяет ретроспективно выявить новые, иногда малоисследованные аспекты его творчества.

М. В. Остроградский родился 24 (12) сентября 1801 г. в Полтавской губернии в семье небогатого помещика, в 1816-1821 гг. учился на физико-математическом факультете Харьковского университета, после чего отправился в Париж для дальнейшего усовершенствования. Его творческий облик сложился при общении с учениками и последователями школы Лагранжа, а именно - с такими знаменитыми учеными как О. Л. Коши, П.-С. Лаплас, С. Д. Пуассон, Ж. Б. Ж. Фурье, П. Пуансо, Ж. Ш. Ф. Штурм и др. В 1826 г. он докладывает в Париже свою первую научную работу, посвященную распространению волн жидкости в цилиндрическом бассейне.

Об успехах молодого ученого стало известно в Петербурге. В 1828 г. М. В. Остроградский вернулся в Россию и сразу был избран адъюнктом Петербургской Академии наук (по представлению академиков Фусса-сына, Коллинса и Вишневского). В 1829 г. он избирается экстраординарным академиком, а в 1830 г. - ординарным академиком по кафедре прикладной математики. С этого времени вся его жизнь неразрывно связана с Петербургской Академией наук, хотя он ведет огромную преподавательскую работу еще и в Главном Педагогическом институте, и в Морском Кадетском корпусе, и в Главном Инженерном училище, и в Михайловской Артиллерийской академии, и в Институте Корпуса инженеров путей сообщения, и в целом ряде средних военных и гражданских учебных заведений.

Преподавательская деятельность М. В. Остроградского в Петербурге началась с Морского Кадетского корпуса. Приказом Петра I в 1701 г. в Москве была основана Навигацкая Школа. На базе ее старших классов после перевода в Петербург в 1715 г. была сформирована Морская академия, в 1752 г. преобразованная в Морской Кадетский корпус. Математику в нем преподавали академики Н. И. Фусс-сын, М. В. Остроградский (с 1828 г.) и В. Я. Буняков-ский, физику - Э. X. Ленц и А. Я. Купфер. Институт Корпуса путей сообщения был создан в 1809 г. по типу входившей в состав знаменитой парижской Ecole Polytechnique Школы Мостов и Дорог. Первыми профессорами здесь тоже были французы: Г. Ламэ, Б. Н. Э. Клапейрон и А. А. Бетанкур. В то время это было лучшее учебное заведение в Петербурге. М. В. Остроградский был приглашен в него для чтения аналитической механики и астрономии в офицерских классах в 1830 г., одновременно туда же был приглашен В. Я. Буняковский для чтения дифференциального и интегрального исчислений.

Третье учебное заведение в Петербурге, с которым был тесно связан Остроградский, - это Главный Педагогический институт, сыгравший славную роль в истории русской культуры. В царствование Александра I в связи с нехваткой преподавателей в ряде городов при университетах открывались педагогические институты. В Петербурге Педагогический институт был открыт в 1803 г. на базе Учительской гимназии (ранее - Учительской семинарии), существовавшей с 1783 г. в здании Двенадцати Коллегий. Поскольку Петербургский университет в составе Академии наук к тому времени фактически перестал функционировать, его студенты были в 1803 г. переведены в Педагогический институт, который получил статус института при университете - «Отделение имеющего быть в Санкт-Петербурге университета». Это был по существу уже университет, но еще без соответствующего статуса. В 1816 г. он был переименован в Главный Педагогический институт. В здании Двенадцати Коллегий институт просуществовал только три года, вплоть до своего расформирования в 1819 г. В том же году в здании Двенадцати Коллегий по указу Александра I на базе расформированного Главного Педагогического института был воссоздан Петербургский университет, а Главный Педагогический институт позднее открылся заново в 1828 г. в здании бывшего Воспитательного Дома на Мойке, где существует и поныне. В 1832 г. в него и был приглашен профессором Михаил Васильевич.

С 1840 г. М. В. Остроградский также стал преподавать математику и механику в Главном Инженерном училище (Инженерный замок), впоследствии переименованном в Николаевскую Инженерную академию, а с 1841 г. - математику, механику и баллистику в Главном

Артиллерийском училище, впоследствии переименованном в Михайловскую Артиллерийскую академию. Много внимания Остроградский уделял и чтению небесной механики как части аналитической механики в этих учебных заведениях. Долгие годы он также инспектировал преподавание математических наук во всех средних и высших военных учебных заведениях России, образцово организовав в них учебный процесс.

М. В. Остроградскнй - автор более 60 научных работ, более 30 монографий, учебных и методических пособий, не говоря уже о многочисленных отзывах, рецензиях и т. п. За более чем 30-летшою его деятельность в Петербургской Академии наук не выходило ни одного выпуска «Записок Академии наук», в котором не была бы помещена его статья или рецензия по самым различным областям математики, механики и астрономии: аналитической механики, теории притяжения, небесной механики, гидромеханики, теории упругости, баллистики, дифференциального и интегрального исчисления, вариационного исчисления и т. д. М. В. Остроградский скончался 20 декабря 1861 г. (1 января 1862 г. по н.ст.) по дороге в Петербург из своего имения в Полтавской губернии.

К настоящему времени осуществлено несколько полных или почти полных изданий трудов М. В. Острогр&адского, в которых приведены ценнейшие библиографические материалы, касающиеся его творчества, а также даются научные комментарии к его результатам. Первая попытка издания полного собрания сочинений ученого была предпринята по инициативе и под руководством акад. А. Н. Крылова, однако из-за Великой Отечественной войны, а затем смерти А. Н. Крылова в 1945 г. оно не было окончено: в 1940 г. успели издать сначала т. 2 («Лекции алгебраического и трансцендентного анализа»), а в 1946 г. - вторую часть т. 1, в которой содержались отредактированные А. Н. Крыловым «Лекции по аналитической механике» [14]. К 150-летию М. В. Остроградского было подготовлено академическое однотомное юбилейное издание его избранных трудов, предпринятое по инициативе и под редакцией акад. В. И. Смирнова [15]. В нем, кроме авторских текстов, были помещены комментарии ведущих ученых к работам Остроградского, в частности к работам по механике [16]. Третья попытка издания полных трудов М. В. Остроградского была предпринята в Киеве [17]. Кроме статей о Михаиле Васильевиче, в упомянутых изданиях весьма обширен список книг и статей, полностью или частично посвященных замечательному ученому. Ниже мы упоминаем лишь некоторые из них (см. [12, с. 81-95; 18-25]. Этот список начинается с юбилейных статей Н. Е. Жуковского и А. М. Ляпунова по поводу празднования 100-летия М. В. Остроградского в 1901 г. [18, 19].

Несмотря на существование обширных библиографических материалов и комментариев к работам Остроградского, выявляются новые, малоизученные аспекты его научного творчества, к которым относится и его немаловажное научное наследие по небесной механике. Оно не слишком велико - 6 статей, 1 рецензия и 1 книга, но тем не менее заслуживает пристального внимания. Работы М. В. Остроградского по небесной механике примыкают к его исследованиям по классической механике. Следует отметить следующие темы: вариационные принципы механики, в частности принцип Гамильтона-Остроградского, принцип возможных перемещений, решение уравнений динамики в гамильтоновой форме и развитие метода Гамильтона-Якоби, развитие теории скобок Пуассона. В работах собственно по небесной механике можно выделить три направления: аналитическое представление гравитационного потенциала тяжелого сфероида, теория вековых возмущений планет и метод вариации произвольных постоянных для интегрирования уравнений возмущенного орбитального движения.

Фундамент аналитической небесной механики был заложен в XVIII в. в трудах А. Клеро, Ж.-Л. Даламбера и Л. Эйлера. Дальнейшее ее развитие связано с именами Ж.-Л. Лагранжа и П.-С. Лапласа [26, 27]. Творец девятитомной «Небесной механики» П.-С. Лаплас (1749-1827) и другие французские математики и астрономы оказали огромное влияние на М. В. Остроградского, пробудив в нем живой интерес к этой науке. Во время своей стажировки в Париже М. В. Остроградский, несомненно, был в курсе тех проблем, которые тогда стояли перед ней, так как ее нельзя рассматривать без связи с классической механикой вообще. Будучи ярым энтузиастом и последователем школы Лагранжа, Остроградский владел в совершенстве всеми

методами, сформулированными Ж.-Л. Лагранжем (1736-1813) в его знаменитой «Mécanique Analytique» [28]. Эта книга явилась краеугольным камнем в развитии всей классической механики в последующие два столетия. Напомним, что первое ее издание было в 1788 г. в виде однотомника, второе издание, которым, по-видимому, и пользовался М. В. Остроградский, вышло уже в двух томах в 1811 и 1815 гг. соответственно, т. е. второй том вышел уже после смерти Лагранжа. В дальнейшем «Аналитическая механика» неоднократно включалась в многотомные издания собраний сочинений Лагранжа и была переведена в СССР [29].

Хотя М. В. Остроградский всецело находился под влиянием идей Лагранжа как основателя аналитической механики, он значительно дополнил и развил аналитические методы механики. Например, если Лагранж ограничился рассмотрением тех задач, в которых аналитические условия, налагаемые на координаты точек системы, выражаются равенствами, то Остроградский обобщил принцип возможных перемещений на случай так называемых неудерживающих освобождающихся связей. В этом случае точки системы могут покидать кривые или поверхности, ограничивающие их движения, а уравнения связей выражаются неравенствами. Занимаясь теорией возможных перемещений механических систем, Остроградский трактует их как возникающие от перехода данного движения к другому, весьма близкому движению той же системы, но обусловленному изменением произвольных постоянных в интегралах уравнений динамики. Мысль о таком рассмотрении метода возможных перемещений принадлежит именно М. В. Остроградскому, который доложил свои рассуждения в Петербургской Академии наук в 1829 г., а затем опубликовал их в небольшой заметке «О вариации произвольных постоянных в задачах механики» в 1831 г. Эту методику он развил затем в своем курсе небесной механики (см. ниже), базирующемся на широком и корректном использовании метода вариации произвольных постоянных.

Приход М. В. Остроградского в Петербургскую Академию наук был ознаменован публикацией его новых работ по астрономической тематике. Интерес к задачам астрономии возник у него еще в молодости, в университетские годы. Его наставник в Харьковском университете профессор Т. Ф. Осиповский успешно занимался астрономией, читал по ней лекции в университете, писал методические брошюры, подготовил перевод на русский язык четырех (из пяти вышедших к тому времени) томов «Небесной механики» Лапласа. К сожалению, этот перевод так и не был опубликован. Свои знания по астрономии Т. Ф. Осиповский передал своему ученику, поэтому частично первые сочинения М. В. Остроградского по механике оказались тесно связанными с задачами астрономии, хотя главную роль, конечно, сыграло его обучение в Париже, где небесная механика была одним из важнейших направлений исследований. Во время стажировки в Парижской Академии наук в 1822-1828 гг. М. В. Остроградский лично познакомился с Лапласом, который с удовольствием покровительствовал молодому русскому, принимая в нем живейшее участие и обсуждая с ним астрономические проблемы. И уже в своих ранних работах Остроградский, исходя из единого общего уравнения механики (принципа Даламбера) и принципа возможных перемещений при рассмотрении уравнений движения, применяет возмущенную систему уравнений с пертурбационной функцией, традиционно используемую в теории возмущенных движений небесных тел.

Зная, какие проблемы стоят перед небесной механикой того времени, М. В. Остроградский сумел очертить рамки своих научных интересов. В академическом рапорте от 1830 г. он, характеризуя состояние современной ему науки, четко формулирует свое научно-философское кредо: «Преемники Ньютона развили в самых мелких подробностях великий закон всемирного тяготения и сумели подвергнуть математическому анализу многие важные и трудные вопросы общей физики и физики невесомых веществ. Совокупность их трудов о системе мира составляет бессмертный труд небесной механики, в котором астрономы еще долго будут черпать элементы своих таблиц; но физико-математические теории не объединены еще в одно целое, они рассеяны во множестве собраний академических мемуаров, они исследуются при помощи различных методов, весьма часто смутных и неполных; есть такие теории, уже сложившиеся и, однако, нигде не опубликованные. Я ставлю своей целью объединить все эти теории, разработать их однородным методом и указать важнейшие их приложения. Я уже

собрал необходимые материалы по движению и равновесию упругих тел, по распространению тепла внутри твердых тел, в частности, внутри земного шара. Но эти теории составляют лишь необходимую часть всего труда, который должен заключить также распространение электричества и магнетизма в телах, электродинамические явления, движение и равновесие жидкостей и теорию вероятностей» [11, с. 471]. Таким образом, заявляя о своем намерении охватить единым математическим аппаратом все физические явления, Михаил Васильевич и здесь остается верен небесной механике как некой эталонной науке, а многотомный трактат Лапласа (именно он имеется в виду в приведенной выше цитате) служит ему недостижимым образцом для изложения всех остальных наук.

Итак, М. В. Остроградскому принадлежит семь научных публикаций по небесной механике [30-36].Теории притяжения посвящена первая его работа, упомянутая в протоколах Петербургской Академии наук, а именно «Заметка об одном интеграле, встречающемся при определении притяжения сфероидов» [30], доложенная на заседании в Академии наук в 1828 г. и опубликованная в 1831 г. Первоначальный вариант рукописи был передан на отзыв академику Э. Д. Коллинсу. Эту задачу решали многие ученые, в том числе Лагранж и Лаплас. Уравнение, описывающее силу притяжения сфероида для внешнего случая, было установлено Лапласом, затем Пуассон показал, как это уравнение должно быть модифицировано для точки внутри или на поверхности сфероида. М. В. Остроградский рассмотрел общий случай для произвольного положения точки относительно сфероидального небесного тела, дав наиболее совершенный вывод уравнения Пуассона, опирающийся на новую для того времени концепцию интеграла по Коши в случае, когда подынтегральная функция обращается в бесконечность. Эта рукопись и доклад 1828 г. сыграли определяющую роль в приглашении М. В. Остроградского в Петербургскую Академию наук. С идеей своего метода он познакомил Коши, который в 1831 г. опубликовал доказательство теоремы Пуассона, сославшись на то, что возможность подобного доказательства ему была указана Остроградским. Позднее в других своих заметках, опубликованных в 1838 и 1843 гг. соответственно, М. В. Остроградский дал простое аналитическое доказательство теоремы о взаимном притяжении сфероидов [33, 34].

Второй работой по небесной механике была упомянутая выше «Заметка о вариации произвольных постоянных в задачах механики» [31], опубликованная в 1831 г. Она фактически положила начало созданию им курса небесной механики. К этой тематике Остроградский вернулся в 1849 г. [35].

Ряд работ ученого по астрономии и геофизике оказался связанным с визитом в Петербург знаменитого немецкого астронома и геофизика Александра Гумбольдта. На академической конференции 16 ноября 1829 г., посвященной его приезду, М. В. Остроградский прочитал доклад о влиянии солнечного тепла на температуру земного шара, с сожалению, оставшийся, по-видимому, неопубликованным, который был высоко оценен Гумбольдтом. После посещения Гумбольдта в России начался бум метеорологических исследований, открылась метеорологическая обсерватория, велись наблюдения за погодой, климатом и явлениями земного магнетизма. Тогда же, в 1829 г., М. В. Остроградский был включен в Комиссию по составлению проекта постройки института магнетизма и метеорологии. Позднее, в 1849 г., этот проект был осуществлен: открылась Геофизическая обсерватория. В 1830 г. М. В. Остроградский был приглашен в Комиссию по вопросу введения григорианского календаря и в Комиссию по совместной работе Академии наук и Генерального Штаба Армии для астрономических определений географических положений различных пунктов в России.

В 1830 г. Михаил Васильевич обратился в Академию наук с просьбой предоставить ему командировку с сохранением содержания в Париж на 8 месяцев для изучения рукописей в академической библиотеке Французского института. Он получает разрешение с одновременной рекомендацией направить во Французский институт свою рукопись «О теории вековых неравенств в движениях планетных орбит», которая была еще раньше успешно доложена в Петербургской Академии наук. Эта рукопись осталась неопубликованной [2]. Другое исследование Остроградского по теории возмущений «О вековых неравенствах в средних движениях

планет», присланное им в Петербург в 1830 г. из Парижа, планировалось к изданию в так называемом «Журнале Крелля», выходившем в Германии (Journal fuer die Reine und Angewandte Mathematik). Однако он послал его в Петербургскую Академию наук и опубликовал в 1833 г. [32], причем содержание доклада о планетных возмущениях предварительно было кратко сообщено в академическом отчете. Как указано в [2], в Архиве Академии наук сохранилась рукопись еще одной неопубликованной статьи «О возмущении планет» объемом 92 страницы, помеченная 1854 г.

К решению задач небесной механики М. В. Остроградский старался привлечь молодежь. Он принимал деятельное участие в организации академических конкурсов на Демидовские премии. Последние были учреждены правнуком основателя Уральских заводов П. Н. Демидовым и присуждались ежегодно Петербургской Академией наук за лучшие работы, «способствующие преуспеванию русской науки, литературы и промышленности». Для первого же конкурса М. В. Остроградский заранее позаботился предложить конкурсные темы, причем прислал их письмом из Парижа, в котором, в частности, говорилось [15, с. 450]: «Имею честь предложить Академии в качестве предмета на премию по математике один из следующих вопросов:

Комиссией была выбрана первая тема, как имеющая наибольшее прикладное значение, и М. В. Остроградский, уведомленный об этом письмом, шлет из Парижа в Петербург развернутую формулировку темы конкурса с подробным описанием истории развития теории приливов Кеплером, Ньютоном и Лапласом и с рекомендацией к составлению дифференциальных уравнений движения частиц воды в океане. При этом он предлагает сравнить полученные аналитически моменты времен наступлений приливов и отливов с наблюдениями. Он поощряет конкурсантов к развитию общетеоретических методов интегрирования: «Академия с удовольствием увидела бы, что авторы учитывают члены, разделенные на четвертую степень расстояния до Луны. Академия с еще с большим удовлетворением встретила бы методы интегрирования, превосходящие известные, с помощью которых удалось бы избежать обычного разложения в ряд функций, которые зависят от сил притяжения» [15, с. 451]. Эта заметка М. В. Остроградского с темой конкурса, написанная по французски, была напечатана в 1831 г. в Сборнике актов заседаний Академии. Срок подачи работ на конкурс был назначен на 1833 г.

Представляют интерес не только научные статьи М. В. Остроградского на астрономические и геофизические темы, но и ряд его рецензий на астрономические работы других авторов. Например, он написал обстоятельную рецензию на мемуар казанского профессора М. А. Ковальского о движении Нептуна [36], имеющую самостоятельный научный интерес. Он принимал деятельное участие в издании переводов научной и научно-популярной европейской астрономической литературы. Им был просмотрен, отредактирован и одобрен русский перевод книги директора Кембриджской университетской обсерватории, а позднее (с 1835 по 1881 г.) -Королевского Астронома (директора Гринвичской обсерватории) сэра Дж. Эйри (1801-1892) «Популярная физическая астрономия». Интерес представляет также его рецензия на книгу шотландской исследовательницы Мэри Соммервиль (1780-1872), с 1835 г. члена Лондонского Королевского астрономического общества. Он охарактеризовал автора как энтузиаста, призванного служить делу популяризации «Небесной механики» Лапласа. Действительно, Мэри Соммервиль перевела на английский язык многотомные сочинения Лапласа, а в 1831 г., т. е. уже после последовавшей в 1827 г. смерти Лапласа, опубликовала его в своем авторском переложении.

Занимаясь в Петербурге преподавательской работой, М. В. Остроградский делится своими знаниями по небесной механике не только на лекциях в тех учебных заведениях, в которых он становится профессором, но и в своих специальных выступлениях на эти темы. Чтение курса небесной механики он начал в Большом зале Петербургской Академии наук зимой 1829/1830 года и на протяжении пяти месяцев вел там публичные лекции по небесной механике. Зал Академии наук неизменно собирал значительную аудиторию слушателей. В разработанном М. В. Остроградским курсе были существенно развиты методы, созданные Эйлером, Даламбером и Лагранжем, прежде всего метод вариации произвольных постоянных. М. В. Остроградский варьирует постоянные, входящие неявно в интегралы дифференциальных уравнений орбитального движения. Он использует разложения в тригонометрические ряды и проводит доказательство сходимости. Найденные им достаточные условия сходимости позднее были обобщены П. Г. Дирихле.

Предварительный рукописный текст своего курса М. В. Остроградский представил на отзыв в Парижскую Академию наук во время своей короткой командировки в Париж в 1830 г. Парижская Академия поручила составить его Д.-Ф. Aparo (1786-1853) и С.-Д. Пуассону (1781— 1840). После изучения этой рукописи они в своей рецензии [37] восторженно отозвались о применяемой Остроградским остроумной модификации лагранжева метода вариации произвольных постоянных:

«Исходным пунктом служит автору общее уравнение движения системы тел, происходящее от соединения начала Даламбера с началом возможных скоростей. Хотя Даламбер уже дал начало (носящее его имя) для приведения вопросов о движении к простейшим вопросам статики, но никому не пришло подчас на мысль соединить его с общим началом равновесия, давно известным под названием начала возможных скоростей. Это соединение ввел Лагранж 20 лет по выходе в свет динамики Даламбера. Оно привело Лагранжа к общей формуле, на которой он основал свою аналитическую механику. Эта формула, как известно, содержит вариации координат всех точек системы, удовлетворяющие условиям связей, существующих между точками.

Остроградский относит эти вариации к произвольным постоянным, находящимся в интегралах дифференциальных уравнений движения, в каждом частном случае, и заключающимся неявно в выражениях координат. Эта замечательная мысль принадлежит автору. Основываясь на ней, он выводит непосредственно известное свойство комбинаций из дифференциалов координат и скоростей относительно произвольных постоянных, а именно, что эта комбинация представляет величину, не зависящую от времени, всякий раз как сумма действующих на точки сил, умноженных на элементы их направлений, представляет полный дифференциал. Он выводит на том же основании начало живых сил, начало центра тяжести и начало площадей, рассматривая в частности: произвольные постоянные, относящиеся к началу и к направлениям координат, как и в случае системы, способной вращаться только около начала.

После того автор полагает, что к данным силам, удовлетворяющим условию интегрируемости, прибавляются новые силы, не подлежащие этому условию. По основному началу изменения произвольных постоянных, эти возмущающие силы производят изменения в произвольных постоянных, относящихся к первым силам, таким образом, что выражения координат и дифференциалов их сохраняют прежний вид. На этом основании из дифференциальных уравнений движения, по введению в них возмущающих сил, выводятся дифференциалы произвольных постоянных. Автор приходит к той системе линейных уравнений, которую вывел таким путем Лагранж и в которой для каждого частного случая должно произвести исключения переменных. Эти общие теоремы изложены с ясностью в первых пяти лекциях Остроградского. Потом автор прилагает их в частности к движению планеты около Солнца, полагая, что планета возмущается одною или многими другими планетами. Он получает таким образом дифференциалы шести эллиптических элементов.

Прочтя внимательно лекции Остроградского, мы находим, что этот даровитый профессор глубоким изучением усвоил общие методы, которыми в последнее время обогатилась небесная механика, и упростил их изложение. Ревнители просвещения должны с удовольствием видеть,

что он нашел в своем отечестве слушателей, достаточно сведущих для того, чтобы изучить под его руководством столь высокий и трудный предмет. Мы полагаем, что труд Остроградского заслуживает похвалу и одобрение Академии» [37, с. 14-15].

Этот отзыв выдающихся французских математиков лагранжевой школы о рукописи курса М. В. Остроградского по небесной механике был позднее опубликован в различных изданиях, в том числе и в России в «Записхах Академии наук» в русском переводе.

На базе этой рукописи и в результате чтения публичных лекций по небесной механике создается напечатанный в 1831 г. «Курс небесной механики» - литографированный курс из 12 лекций, прочитанных М. В. Остроградским с ноября 1829 г. по март 1830 г. и записанный одним его из слушателей, коллегой по Корпусу инженеров путей сообщения капитаном Я. Янушевским. Курс был опубликован в Петербурге на французском языке в академическом издании [38]. В нем дан простой вывод классических формул Лагранжа из его «Mécanique Analytique» [28, т. 1, с. 412-437, т. 2, с. 87-119], одновременно развивается лагранжев метод вариации произвольных постоянных применительно к задачам небесной механики.

Пять первых лекций курса были посвящены изложению общих теорем динамики, относящихся к методу вариации произвольных постоянных. Принадлежащая М. В. Остроградскому идея состоит в том, что возможные перемещения движущейся системы тел рассматриваются как происходящие в результате перехода данного движения к другому, близкому движению той же системы тел, являющемуся результатом изменения произвольных постоянных в интегралах движения, полученных аналитически. Как мы уже упоминали, именно эта идея ученого о такой оригинальной интерпретации метода возможных перемещений привлекла внимание рецензентов книги Араго и Пуассона. В шестой лекции формулировались три закона Кеплера. Остальные лекции были посвящены главной цели курса - отысканию аналитических решений уравнений движения планет, их спутников, комет, а также сравнению результатов аналитического интегрирования уравнений движения с результатами астрономических наблюдений. К сожалению, издание курса не было продолжено, хотя о предполагаемом продолжении автор пишет в заключении книги. Болезнь помешала ему осуществить свое намерение: он ослеп на один глаз.

Что касается оригинального подхода М. В. Остроградского к принципу возможных перемещений и его применению к методу вариации произвольных постоянных, то первоначально он изложил его в 1831 г. в упомянутой выше небольшой «Заметке об изменении произвольных постоянных в задачах механики» [31]. В своем курсе лекций по небесной механике он прилагает этот метод к возмущенному орбитальному движению планет, считая, что каждая планета испытывает возмущения от всех остальных планет, выводит аналитически формулы для скорости изменения шести кеплеровых элементов эллиптического движения, базируясь на уравнениях Лагранжа, записанных в неособенных элементах, выполняя разложение пертурбационной функции в сходящиеся тригонометрические ряды специального вида. Применение последних для интегрирования уравнений Лагранжа оказалось заслугой М. В. Остроградского. Завершается курс изложением теоремы Ланласа-Лагранжа о малости эксцентриситетов и наклонов планетных орбит в вековом движении.

В связи с данными задачами уместно напомнить, что идея вариации произвольных постоянных принадлежит Л. Эйлеру (Ф. Тиссеран [39] предполагает, что ее можно найти еще у И. Ньютона). Лагранж довел ее до состояния общего метода решения задач механики, выражаемых дифференциальными уравнениями [28]. Это был один из замечательных успехов в истории механики и астрономии. Возмущенное движение стало рассматриваться как эллиптическое с непрерывно изменяющимися орбитальными элементами.

Идея оскулирующей орбиты была выражена еще И. Ньютоном: Тр?